题目内容
10．
如图，椭圆C1：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，x轴被曲线C2：y=x2-b截得的线段长等于C1的短轴长，C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B，直线MA，MB分别与C1相交于点D、E．（Ⅰ）求C1、C2的方程；
（Ⅱ）求证：MA⊥MB：
（Ⅲ）记△MAB，△MDE的面积分别为S1，S2，若$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=λ，求λ的最小值．
分析 （I）离心率$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得a2=2c2=2b2，又x轴被曲线C2：y=x2-b截得的线段长2$\sqrt{b}$=2b，解得b，a2．可得曲线C2的方程；曲线C1的方程．
（II）设直线AB的方程为：y=kx，A（x1，y1），B（x2，y2）．M（0，-1）．与抛物线方程联立可得：x2-kx-1=0，利用根与系数的关系、数量积运算性质即可证明MA⊥MB．
（III）设直线MA的方程：y=k1x-1；MB的方程为：y=k2x-1，且k1k2=-1．分别与抛物线椭圆方程联立解得A，B，D，E的坐标，利用三角形面积计算公式即可得出，$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=λ，再利用基本不等式的性质即可得出．
解答 （I）解：离心率$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴a2=2c2=2b2，
又x轴被曲线C2：y=x2-b截得的线段长2$\sqrt{b}$=2b，解得b=1．∴a2=2．
∴曲线C2的方程为：y=x2-1；
曲线C1的方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（II）证明：设直线AB的方程为：y=kx，A（x1，y1），B（x2，y2）．M（0，-1）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y={x}^{2}-1}\end{array}\right.$，化为：x2-kx-1=0，∴x1+x2=k，x1•x2=-1．
∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=x1x2+（y1+1）（y2+1）=（k2+1）x1•x2+k（x1+x2）+1=-（k2+1）+k•k+1=0．
∴MA⊥MB．
（III）解：设直线MA的方程：y=k1x-1；MB的方程为：y=k2x-1，且k1k2=-1．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}x-1}\\{y={x}^{2}-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x={k}_{1}}\\{y={k}_{1}^{2}-1}\end{array}\right.$，∴A$（{k}_{1}，{k}_{1}^{2}-1）$．
同理可得B$（{k}_{2}，{k}_{2}^{2}-1）$．
S1=$\frac{1}{2}$|MA|•|MB|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{1+{k}_{1}^{2}}$$\sqrt{1+{k}_{2}^{2}}$|k1|•|k2|．
$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}x-1}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4{k}_{1}}{1+2{k}_{1}^{2}}}\\{y=\frac{2{k}_{1}^{2}-1}{1+2{k}_{1}^{2}}}\end{array}\right.$，∴D$（\frac{4{k}_{1}}{1+2{k}_{1}^{2}}，\frac{2{k}_{1}^{2}-1}{1+2{k}_{1}^{2}}）$．
同理可得：E$（\frac{4{k}_{2}}{1+2{k}_{2}^{2}}，\frac{2{k}_{2}^{2}-1}{1+2{k}_{2}^{2}}）$，
∴S2=$\frac{1}{2}|MD|•|ME|$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{1+{k}_{1}^{2}}$$\sqrt{1+{k}_{2}^{2}}$•$\frac{|16{k}_{1}{k}_{2}|}{（1+2{k}_{1}^{2}）（1+2{k}_{2}^{2}）}$．
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=λ=$\frac{（1+2{k}_{1}^{2}）（1+2{k}_{2}^{2}）}{16}$=$\frac{5+2（{k}_{1}^{2}+\frac{1}{{k}_{1}^{2}}）}{16}$$≥\frac{9}{16}$，
所以λ的最小值为$\frac{9}{16}$，此时k=1或-1．
点评 本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、直线与椭圆抛物线相交问题、三角形面积计算公式、基本不等式的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
| A． | $\frac{π}{6}$ | B． | $\frac{π}{4}$ | C． | $\frac{π}{3}$ | D． | $\frac{π}{2}$ |
| A． | f′（2）＜0 | B． | f′（2）=0 | C． | f′（2）＞0 | D． | f′（2）不存在 |
| A． | 2 | B． | 1 | C． | $\frac{1}{4}$ | D． | $\frac{1}{2}$ |