Question

某校新校区建设在市二环路主干道旁，因安全需要，挖掘建设了一条人行地下通道，地下通道设计三视图中的主（正）视力（其中上部分曲线近似为抛物）和侧（左）视图如图（单位：m），则该工程需挖掘的总土方数为（　　）

• A、560m³
• B、540m³
• C、520m³
• D、500m³

Answer 1

考点：抛物线的应用,用定积分求简单几何体的体积

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：建立直角坐标系，求出抛物线的方程，求出正（主）视图上部分抛物线与矩形围成的部分面积、下部分矩形面积，即可求出挖掘的总土方数．

解答： 解：以顶部抛物线顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系，易得抛物线过点（3，-1），其方程为y=-

1

9

x2，那么正（主）视图上部分抛物线与矩形围成的部分面积S₁=

∫

3 -3

(-

1

9

x2+1)dx=2(-

1

27

x3+x)

|

3 0

=4，
下部分矩形面积S₂=24，
故挖掘的总土方数为V=（S₁+S₂）h=28×20=560m³．
故选：A．

点评：本题是对抛物线方程在实际生活中应用的考查，考查学生的计算能力，属于中档题．