Question

9．已知椭圆C₁和双曲线C₂：x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1有相同的焦点，且椭圆C₁与双曲线C₂的离心率e₁，e₂，满足2e₁=e₂
（Ⅰ）求椭圆C₁的标准方程；
（Ⅱ）P为椭圆C₁上的任意一点，过P点的直线与直线x+y=8夹角为$\frac{π}{3}$，且交于点Q，求|PQ|的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得双曲线的焦点和离心率，可得椭圆的焦点和离心率，设出椭圆C₁的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），可得a²-b²=3，e₁=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且c=$\sqrt{3}$，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）求得|PQ|=$\frac{d}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$d，（d为P到直线x+y-8=0的距离），即要求|PQ|的最大值，则只需要P到直线x+y-8=0的距离最大即可．设与x+y-8=0平行且与椭圆相切的直线为x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为0，可得t，再由两直线平行的距离公式可得d，进而得到所求最大值．

解答 解：（Ⅰ）双曲线C₂：x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1的焦点为（-$\sqrt{3}$，0），（$\sqrt{3}$，0），e₂=$\sqrt{3}$，
设椭圆C₁的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由题意可得a²-b²=3，
e₁=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且c=$\sqrt{3}$，
解得a=2，b=1，
则椭圆C₁的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（Ⅱ）过C₁上点P作与直线l₀：x+y-8=0夹角为$\frac{π}{3}$的直线l，l交l₀于点Q，
可得|PQ|=$\frac{d}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$d，（d为P到直线x+y-8=0的距离），
即要求|PQ|的最大值，则只需要P到直线x+y-8=0的距离最大即可．
设与x+y-8=0平行且与椭圆相切的直线为x+y+t=0，
即x=-（y+t），代入$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，得（y+t）²+4y²=4，
整理得5y²+2ty+t²-4=0，
由判别式△=0得△=4t²-20（t²-4）=0，
即t²=5，得t=±$\sqrt{5}$，
即切线为x+y+$\sqrt{5}$=0或x+y-$\sqrt{5}$=0（舍去），
则x+y+$\sqrt{5}$=0到x+y-8=0的距离d=$\frac{|-\sqrt{5}-8|}{\sqrt{2}}$=$\frac{8\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2}$，
则|PQ|的最大值为|MP|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$d=$\frac{8\sqrt{6}+\sqrt{30}}{3}$．

点评 本题考查了直线与椭圆的位置关系的应用，利用直线和椭圆相切以及平行直线的距离公式是解决本题的关键．