Question

已知f(x)=-2asin(2x+

π

6

)+2a+b
（1）求y=f（x）的单调增区间；
（2）若f（x）的定义域为[

π

2

，π]，值域为[2，5]，求a，b的值．

Answer 1

分析：（1）分情况讨论：当a＞0时，由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z），得函数增区间；当a＜0时，由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

(k∈z)，得函数增区间；
（2）由x∈[

π

2

，π]，得2x+

π

6

∈[

7π

6

，

13π

6

]．从而得sin(2x+

π

6

)∈[-1，

1

2

]．分a＞0，a＜0两种情况讨论求得函数最大值、最小值，然后根据值域列出方程组，解出即可；

解答：解：（1）f(x)=-2asin(2x+

π

6

)+2a+b，
当a＞0时，由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z），
得y=f(x)的增区间为[ ；
当a＜0时，由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

(k∈z)，
得y=f(x)的单调增区间为[ ；
（2）f(x)=-2asin(2x+

π

6

)+2a+b，
∵x∈[

π

2

，π]，∴2x+

π

6

∈[

7π

6

，

13π

6

]．
∴sin(2x+

π

6

)∈[-1，

1

2

]．
当a＞0时，有

2a+2a+b=5 -2a• 1 2 +2a+b=2

，解得

a=1 b=1

，
当a＜0时，有

2a+2a+b=2 -2a• 1 2 +2a+b=5

，解得

a=-1 b=6

，符合条件．

点评：本题考查正弦函数的单调性、正弦函数的定义域和值域，考查学生的运算求解能力，属中档题．