Question

8．如图，正方形ABCD和菱形ACEF所在平面互相垂直，∠ACE=60°．四棱锥E-ABCD的体积是36$\sqrt{6}$．
（Ⅰ）求证：DE∥平面ABF
（Ⅱ）求四面体ABEF的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出AB∥DC，AF∥CE，从而平面ABF∥平面CDE，由此能证明DE∥平面ABF．
（Ⅱ）连结AC、BD，相交于点O，连结EO，推导出EO⊥平面ABCD，BO⊥平面ACEF，四面体ABEF在面AEF上的高BO=3$\sqrt{3}$，由此能求出四面体ABEF的体积．

解答 证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是菱形，
∴AB∥DC，AF∥CE，且AB∩AF=A，CD∩CE=C，
∴平面ABF∥平面CDE，
∵DE?平面CDE，∴DE∥平面ABF．
解：（Ⅱ）连结AC、BD，相交于点O，连结EO，则O为AC的中点，
∵四边形ACEF是菱形，∠ACE=60°，∴△ACE是正三角形，
∴EO⊥AC，
∵平面ABCD⊥平面ACEF，交线为AC，
∴EO⊥平面ABCD，
同理，得BO⊥平面ACEF，
设正方形ABCD的边长为a，则AC=BD=$\sqrt{2}a$，BO=$\frac{\sqrt{6}}{2}a$，
∴V_E-ABCD=$\frac{1}{3}{a}^{2}×\frac{\sqrt{6}}{2}a=\frac{\sqrt{6}}{6}{a}^{3}=36\sqrt{6}$，解得a=6，
∴${S}_{△AEF}=\frac{1}{2}×（\sqrt{2}a）^{2}×sin60°=18\sqrt{3}$，
四面体ABEF在面AEF上的高BO=3$\sqrt{3}$，
∴四面体ABEF的体积${V}_{B-AEF}=\frac{1}{3}×18\sqrt{3}×3\sqrt{2}$=18$\sqrt{6}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查四面体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．