题目内容
10．
如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，BB1=5，AB=4，BC=2．（1）求三棱柱${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$的体积；
（2）若M是棱AC中点，求B1M与平面ABC所成角的大小．
分析 （1）利用三棱柱${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$的体积计算公式即可得出．
（2）连接BM，由直三棱柱ABC-A1B1C1中，可得B1B⊥底面ABC．可得∠B1MB为B1M与平面ABC所成的线面角．在Rt△ABC中，由M是棱AC中点，可得$BM=\frac{1}{2}$AC．在Rt△B1MB中，tan∠B1MB$\frac{{B}_{1}B}{BM}$，即可得出．
解答 解：（1）三棱柱${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$的体积V=$\frac{1}{2}×4×2×5$=20．
（2）连接BM，由直三棱柱ABC-A1B1C1中，可得B1B⊥底面ABC．
∴∠B1MB为B1M与平面ABC所成的线面角．
在Rt△ABC中，AC$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$2\sqrt{5}$．
∵M是棱AC中点，$BM=\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{5}$．
在Rt△B1MB中，tan∠B1MB$\frac{{B}_{1}B}{BM}$=$\frac{5}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$．
∴B1M与平面ABC所成角的大小为arctan$\sqrt{5}$．
点评 本题考查了直三棱柱的性质与体积计算公式、线面角、直角三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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