Question

17．已知f（x）=（$\frac{1}{{a}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$）x³（a＞0，且a≠1）．
（1）讨论f（x）的奇偶性；
（2）求a的取值范围，使f（x）＞0在定义域上恒成立．

Answer 1

分析 （1）依题意，可得函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，利用函数奇偶性的定义可判断出f（-x）=f（x），从而可知f（x）的奇偶性；
（2）由（1）知f（x）为偶函数，故只需讨论x＞0时的情况，依题意，当x＞0时，由f（x）＞0恒成立，即可求得a的取值范围．

解答 解：（1）由于ax-1≠0，则ax≠1，得x≠0，
所以函数f（x）的定义域为{x|x≠0}．
对于定义域内任意x，有
f（-x）=（$\frac{1}{{a}^{-x}-1}$+$\frac{1}{2}$）（-x）³=（$\frac{{a}^{x}}{1{-a}^{x}}$+$\frac{1}{2}$）•（-x）³
=（$\frac{{-a}^{x}}{1{-a}^{x}}$-$\frac{1}{2}$）•x³=（$\frac{{（1-a}^{x}）-1}{1{-a}^{x}}$-$\frac{1}{2}$）•x³=（$\frac{1}{{a}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$）x³=f（x），
∴f（x）是偶函数．
（2）由（1）知f（x）为偶函数，∴只需讨论x＞0时的情况．
当x＞0时，要使f（x）＞0，即（$\frac{1}{{a}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$）x³＞0，
即$\frac{{a}^{x}+1}{{2（a}^{x}-1）}$＞0，即a^x-1＞0，a^x＞1．
又∵x＞0，∴a＞1．
因此a＞1时f（x）＞0．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查函数奇偶性的判定及性质的应用，考查推理运算能力，判断f（x）是偶函数是关键，也是难点，属于中档题．