Question

5．在平面直角坐标系xOy中，设钝角α的终边与圆O：x²+y²=4交于点P（x₁，y₁），点P沿圆顺时针移动$\frac{2π}{3}$个单位弧长后到达点Q（x₂，y₂），则y₁+y₂的取值范围是（3，2$\sqrt{3}$]； 若x₂=$\frac{1}{2}$，则x₁=$\frac{1-3\sqrt{5}}{4}$．

Answer 1

分析 根据三角函数的定义求出函数y₁+y₂，再根据两角和与差的余弦公式，二倍角公式，化简，根据余弦函数的性质即可求出．

解答 解：圆的半径r=2，点P沿圆顺时针移动$\frac{2π}{3}$个单位弧长后到达点Q，
则移动的弧度为$\frac{\frac{2π}{3}}{2}$=$\frac{π}{3}$，
由三角函数定义知，x₁=2cosα，y₁=2sinα，$\frac{π}{2}$＜α＜π，
x₂=2cos（α-$\frac{π}{3}$），
y₂=2sin（α-$\frac{π}{3}$），
则y₁+y₂=2sinα+2sin（α-$\frac{π}{3}$）=2sinα+2（sinαcos$\frac{π}{3}$-cosαsin$\frac{π}{3}$）
=2sinα+sinα-$\sqrt{3}$cosα
=3sinα-$\sqrt{3}$cosα
=2$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα-$\frac{1}{2}$cosα）
=2$\sqrt{3}$sin（α-$\frac{π}{6}$），
∵$\frac{π}{2}$＜α＜π，
∴$\frac{π}{3}$＜α-$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜sin（α-$\frac{π}{6}$）≤1，
3＜2$\sqrt{3}$sin（α-$\frac{π}{6}$）≤2$\sqrt{3}$，
即y₁+y₂的取值范围是（3，2$\sqrt{3}$]，
∵x₂=2cos（α-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，
∴cos（α-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{4}$，
∵$\frac{π}{2}$＜α＜π，
∴$\frac{π}{6}$＜α-$\frac{π}{3}$＜$\frac{2π}{3}$，
∵cos（α-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{4}$＞0，
∴$\frac{π}{6}$＜α-$\frac{π}{3}$＜$\frac{π}{2}$，
则sin（α-$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{1-（\frac{1}{4}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{15}{16}}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
则x₁=2cosα=2cos（α-$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{3}$）=2[cos（α-$\frac{π}{3}$）cos$\frac{π}{3}$-sin（α-$\frac{π}{3}$）sin$\frac{π}{3}$]
=2（$\frac{1}{2}×$$\frac{1}{4}$-$\frac{\sqrt{15}}{4}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=$\frac{1-3\sqrt{5}}{4}$，
故答案为：（3，2$\sqrt{3}$]，$\frac{1-3\sqrt{5}}{4}$

点评 本题主要考查三角函数的定义，两角和与差的余弦公式，余弦函数的性质，考查学生的运算能力．