Question

如图，在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，AB⊥BC，E、F分别是A₁B，AC₁的中点．
（1）求证：EF∥平面ABC；
（2）求证：平面AEF⊥平面AA₁B₁B；
（3）若AB=BC=a，A₁A=2a，求三棱锥F-ABC的体积．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）连结A₁C，可证EF是△A₁BC的中位线，即EF∥BC，从而可证EF∥平面ABC．
（2）易知BC⊥B₁B，又由BC⊥BA，即BC垂直平面ABB₁A₁，又EF∥BC，即EF⊥平面ABB₁A₁，即可证明平面AEF⊥平面AA₁B₁B，
（3）由直三棱柱可知V_{三棱锥F-ABC}=

1

3

S_△ABC×h=

1

3

S_△ABC×

1

2

×CC₁，代入即可求值．

解答： 证明：（1）连结A₁C，
由A₁C₁CA 是矩形，则A₁C必过AC₁的中点F，即F是A₁C的中点，
同理E是A₁B的中点，
则EF是△A₁BC的中位线，
即EF∥BC，又由BC在平面ABC中，EF在平面ABC外，
则EF∥平面ABC．
（2）由A₁B1C₁-ABC是直棱柱，则B₁B⊥BC，即BC⊥B₁B，
又由BC⊥BA，即BC垂直平面ABB₁A₁，
又由（1）知EF∥BC，即EF⊥平面ABB₁A₁，
而EF在平面AEF中，则平面AEF⊥平面AA₁B₁B，
（3）∵三棱柱A₁B₁C₁-ABC是直三棱柱．
∴V_{三棱锥F-ABC}=

1

3

S_△ABC×h
=

1

3

S_△ABC×

1

2

×CC₁
=

1

3

×

1

2

×a×a×a
=

a3

6

．

点评：本题主要考查了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力，属于中档题．