Question

7．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2x+1}{{x}^{2}}，x＜-\frac{1}{2}}\\{ln（x+1），x≥-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，g（x）=x²-4x-4，若f（a）+g（b）=0，则b的取值范围为[-1，5]．

Answer 1

分析 根据函数的单调性求出f（x）的值域，从而得到g（b）的取值范围，解一元二次不等式即可．

解答 解：当x$≥-\frac{1}{2}$时，f（x）=ln（x+1）递增，可得f（x）≥-ln2；
当x＜-$\frac{1}{2}$，即-2＜$\frac{1}{x}$＜0时，f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{2}{x}$=（$\frac{1}{x}$+1）²-1∈[-1，0），
则f（x） 的值域为[-1，+∞），
由f（a）+g（b）=0，
可得g（b）=-f（a），
即b²-4b-4≤1，
解得-1≤b≤5，
即b的取值范围为[-1，5]．
故答案为[-1，5]．

点评 本题考查了函数的值域以及函数的定义域和一元二次不等式的解法问题，属于中档题．