题目内容

已知向量 $数学公式$ ，定义函数 $数学公式$
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调减区间；
（Ⅲ）在答卷的坐标系中画出函数 $数学公式$ 的简图，并由图象写出g（x）的对称轴和对称中心．

解：因为向量 $\text{[math]}$ ，
函数 $\text{[math]}$ =2cos²x+2 $\text{[math]}$ sinxcosx-1=cos2x+ $\text{[math]}$ sin2x=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）．
（Ⅰ）函数f（x）的最小正周期为 $\text{[math]}$ =π；
（Ⅱ）令2kπ+ $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ 得kπ+ $\text{[math]}$ ≤x≤kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈Z，
从而可得函数的单调减区间为[kπ+ $\text{[math]}$ ，kπ+ $\text{[math]}$ ]，k∈Z．
（Ⅲ）函数 $\text{[math]}$ 的图象如图所示，
从图象上可以直观看出，此函数没有对称轴，有一个对称中心．
∴对称中心是（ $\text{[math]}$ ，0）…（14分）
分析：直接利用向量的数量积求出函数的表达式，通过二倍角公式与两角和的正弦函数化简函数的表达式，
（Ⅰ）直接利用正弦函数的周期求解函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）利用正弦函数的单调增区间，求出函数f（x）的单调减区间；
（Ⅲ）利用五点法画出函数 $\text{[math]}$ 的简图，并由图象写出g（x）的对称轴和对称中心．
点评：本题考查向量的数量积，二倍角公式两角和的正弦函数，三角函数的基本性质，三角函数的公式比较多，平时一定要加强记忆，到运用时方能做到游刃有余，考查计算能力．