Question

如果f（x）的图象关于y轴对称，而且在区间[0，+∞）为增函数，又f（-2）=0，那么（x-1）f（x）＜0的解集为

{x|0＜x＜2或x＜-2}

．

Answer 1

分析：根据f（x）的图象关于y轴对称，可得f（x）为偶函数，由此可得f（-2）=f（2）=0，且f（x）在（-∞，0]上是减函数．因此将不等式（x-1）f（x）＜0进行等价变形，得到关于x的不等式组，再根据函数的单调性进行分类讨论，即可得出原不等式的解集．

解答：解：∵f（x）的图象关于y轴对称，
∴函数f（x）是偶函数，可得f（-2）=f（2）=0，
∵偶函数f（x）在区间[0，+∞）为增函数，
∴f（x）在区间（-∞，0]为减函数，
不等式（x-1）f（x）＜0等价于

x-1＞0 f(x)＜0

或

x-1＜0 f(x)＞0

当x-1＞0时，不等式f（x）＜0成立，即f（x）＜f（2），结合单调性可得0＜x＜2；
当x-1＜0时，不等式f（x）＞0成立，即f（x）＞f（-2），结合单调性可得x＜-2．
综上所述，可得（x-1）f（x）＜0的解集为{x|0＜x＜2或x＜-2}
故答案为：{x|0＜x＜2或x＜-2}

点评：本题给出函数的单调性，求解关于x的不等式．着重考查了函数的奇偶性、单调性和不等式的解法等知识，属于中档题．