Question

16．已知向量$\vec a，\vec b，\vec c$，满足$|{\vec a}|=\sqrt{2}$，$|{\bar b}$$|=\vec a•\vec b=3$，若$（\vec c-2\vec a）•（2\vec b-3\vec c）$=0，则$|{\vec b-\vec c}$|的最大值是$\sqrt{2}$+1．

Answer 1

分析 求出$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角，求出$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的终点坐标，设$\overrightarrow{c}$的终点坐标为（x，y），利用向量垂直得出C的轨迹方程，转化为平面几何中的距离问题．

解答 解：∵$|{\vec a}|=\sqrt{2}$，$|{\bar b}$$|=\vec a•\vec b=3$，设$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|cosθ，
即3$\sqrt{2}$cosθ=3，
∴cosθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴θ=$\frac{π}{4}$，
设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，O为坐标原点，则$|{\vec b-\vec c}$|=$|\overrightarrow{BC}|$，
设A（$\sqrt{2}$，0），B（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$），设C（x，y），
∴$\overrightarrow{c}$-2$\overrightarrow{a}$=（x-2$\sqrt{2}$y），2$\overrightarrow{b}$-3$\overrightarrow{c}$=（3$\sqrt{2}$-3x，3$\sqrt{2}$-3y），
∵$（\vec c-2\vec a）•（2\vec b-3\vec c）$=0，
∴（x-2$\sqrt{2}$）（3$\sqrt{2}$-3x）+y（3$\sqrt{2}$-3y）=0，
整理得x²+y²-3$\sqrt{2}$x-$\sqrt{2}$y+4=0，
即（x-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）²+（y-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=1，
∴点点C的轨迹为以M（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）为圆心，以r=1为半径的圆．
∴点B到圆心M的距离d=$\sqrt{2}$，
∴BC的最大距离为d+r=．即|$\overrightarrow{BC}$|的最大值为$\sqrt{2}$+1．
故答案为：$\sqrt{2}$+1

点评 本题考查了平面向量运算的几何意义，使用坐标法计算是常用解题方法．