Question

5．如图，在正四棱锥P-ABCD中，AB=2$\sqrt{3}$，侧面积为8$\sqrt{3}$，则它的体积为4．

Answer 1

分析 作出棱锥的高与斜高，根据侧面积计算斜高，利用勾股定理计算棱锥的高，代入体积公式得出体积．

解答 解：作PO⊥平面ABCD，垂足为O，过O作OE⊥BC于E．
∵棱锥为正四棱锥，
∴O为正方形ABCD的中心，E为BC的中点，
∴PE⊥BC，OE=$\frac{1}{2}AB$=$\sqrt{3}$．
∴S_侧面积=4S_△PBC=4×$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×PE$=8$\sqrt{3}$．
∴PE=2．
∴PO=$\sqrt{P{E}^{2}-O{E}^{2}}$=1．
∴V_P-ABCD=$\frac{1}{3}{S}_{正方形ABCD}•PO$=$\frac{1}{3}×（2\sqrt{3}）^{2}×1$=4．
故答案为：4．

点评 本题考查了棱锥的体积计算，属于基础题．