Question

10．经过双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线相较于M，N两点，若O为坐标原点，△OMN的面积是$\frac{2}{3}$a²，则该双曲线的离心率是$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 求出双曲线的渐近线方程，设两条渐近线的夹角为θ，由两直线的夹角公式，可得tanθ=tan∠MON，求出F到渐近线y=$\frac{b}{a}$x的距离为b，即有|ON|=a，△OMN的面积可以表示为$\frac{1}{2}$•a•atanθ，结合条件可得a，b的关系，再由离心率公式即可计算得到．

解答 解：双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
设两条渐近线的夹角为θ，
则|tanθ|=tan∠MON=$\frac{\frac{b}{a}-（-\frac{b}{a}）}{1+\frac{b}{a}•（-\frac{b}{a}）}$=$\frac{2ab}{{a}^{2}-{b}^{2}}$，
设FN⊥ON，则F到渐近线y=$\frac{b}{a}$x的距离为d=$\frac{|bc|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=b，
即有|ON|=$\sqrt{{c}^{2}-{b}^{2}}$=a，
则△OMN的面积可以表示为$\frac{1}{2}$•a•a|tanθ|=$\frac{{a}^{3}b}{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\frac{2{a}^{2}}{3}$，
解得a=2b，
则e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查离心率的求法，同时考查两直线的夹角公式和三角形的面积公式，结合着较大的运算量，属于中档题．