Question

设t∈[-1，+∞），x=2^-t，y=4^-t+a•2^1+t-1，求y关于x的函数解析式f（x），并求其定义域和值域．

Answer 1

分析：由x=2^-t得t=-log₂x，代入y=4^-t+a•2^1+t-1，可得y关于x的函数解析式f（x），根据t∈[-1，+∞），可求函数定义域．
求导函数，根据极值点与函数定义域的关系进行分类讨论（1）当

3	a

≥2即a≥8时，f（x）在（0，2]上单调递减；（2）当0＜

3	a

≤2即0＜a≤8时，f(x)在(0，

3	a

]上单调递减，[

3	a

，2]上单调递增；（3）当a=0时，y=x²-1，值域为y∈（-1，3]；当

3	a

＜0即a＜0时，f（x）在（0，2]上单调递增，故可求函数值域．

解答：解：由x=2^-t得t=-log₂x，代入y=4^-t+a•2^1+t-1，得y=4log2x+a•21-log2x-1=x2+

2a

x

-1
定义域为0＜x≤2．
∵y'=2x-

2a

x2

=

2(x3-a)

x2

，（其中令x≠0）
令y′＞0得x＞

3	a

；令y′＜0得x＜

3	a

（1）当

3	a

≥2即a≥8时，f（x）在（0，2]上单调递减，
∴x=2时，y_min=3+a；x→0时，y→+∞，即值域为y∈[3+a，+∞）
（2）当0＜

3	a

≤2即0＜a≤8时，f(x)在(0，

3	a

]上单调递减，[

3	a

，2]上单调递增，
∴x=

3	a

时，ymin=3a

2

3

-1；x→0时，y→+∞，即值域为y∈[3a

2

3

-1，+∞)．
（3）当a=0时，y=x²-1，值域为y∈（-1，3]
（4）当

3	a

＜0即a＜0时，f（x）在（0，2]上单调递增，
∴x=2时，y_max=3+a；x→0时，y→-∞，即值域为y∈（-∞，3+a]．
综上可知，值域y=

[3+a，+∞)，a≥8 [3a 2 3 -1，+∞)，0＜a＜8 (-1，3]，a=0 (-∞，3+a]，a≤0

点评：本题以函数为载体，考查换元思想，考查函数的定义域与值域，解题的关键是利用极值点与定义域的关系，合理进行分类讨论．