Question

4．已知函数f（x）=ln（1+x）-$\frac{ax}{x+1}$（a＞0）
（Ⅰ）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）证明：${（{\frac{2015}{2016}}）^{2016}}＜\frac{1}{e}$（e为自然对数的底数）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，得到关于a的方程，解出即可；
（Ⅱ）问题转化为f（x）_min≥0，根据函数的单调性，通过讨论a的范围求出a的具体范围即可；
（Ⅲ）不等式两边取对数，得到ln（1+$\frac{1}{2015}$）-$\frac{1}{1+2015}$＞0，结合函数的单调性证明即可．

解答 解：（Ⅰ）∵$f（x）=ln（1+x）-\frac{ax}{x+1}（a＞0）$，
∴${f^'}（x）=\frac{x+1-a}{{{{（x+1）}^2}}}$，
∵x=1是函数f（x）的一个极值点，
f′（1）=0即a=2；
（Ⅱ）∵f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，∴f（x）_min≥0，
当0＜a≤1时，f′（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，
即f（x）在[0，+∞）上为增函数，
∴f（x）_min=f（0）=0成立，即0＜a≤1，
当a＞1时，令f′（x）≥0，则x＞a-1，
令f′（x）＜0，则0≤x＜a-1，
即f（x）在[0，a-1）上为减函数，在（a-1，+∞）上为增函数，
∴f（x）_min=f（a-1）≥0，又f（0）=0＞f（a-1），则矛盾．
综上，a的取值范围为（0，1]．
（Ⅲ）要证${（{\frac{2015}{2016}}）^{2016}}＜\frac{1}{e}$，只需证${（{\frac{2016}{2015}}）^{2016}}＞e$，
两边取自然对数得，$2016×ln\frac{2016}{2015}＞1$$?ln\frac{2016}{2015}＞\frac{1}{2016}$，
?ln$\frac{2016}{2015}$-$\frac{1}{2016}$＞0?ln（1+$\frac{1}{2015}$）-$\frac{1}{1+2015}$＞0，
由（Ⅱ）知a=1时，f（x）=ln（1+x）-$\frac{x}{x+1}$在[0，+∞）单调递增，
又$\frac{1}{1+2015}$＞0，f（0）=0，
∴f（$\frac{1}{2015}$）=ln$\frac{1}{1+2015}$-$\frac{1}{1+2015}$＞f（0）=0，
${（{\frac{2015}{2016}}）^{2016}}＜\frac{1}{e}$成立．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道综合题．