Question

4．如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=$\sqrt{2}$，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD的中点．
（I）求证：平面PAB⊥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角B-PC-D平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由AB⊥AD及面面垂直的性质得出AB⊥平面PAD，于是平面PAB⊥平面PAD；
（2）取PC中点E，PB中点F，连接EF，DE，DF，OC则可证EF⊥PC，DE⊥PC，故而∠DEF为所求二面角的平面角，作FG∥AB交PA于G，连接DG，根据勾股定理求出DE，DF，利用余弦定理求出cos∠DEF．

解答 证明：（1）∴AB⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=ADAB?平面ABCD，
∴AB⊥平面PAD，又AB?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAD．
（2）取PC中点E，PB中点F，连接EF，DE，DF，OC．
∵OA=AB=BC，OA⊥AB，OA∥BC，
∴四边形ABCO是正方形，∴BC⊥OC，
又BC⊥PO，PO∩OC=O，PO，OC?平面POC，
∴BC⊥平面POC，∵PC?平面POC，
∴BC⊥PC，∵EF是△PBC的中位线，
∴EF∥BC，EF=$\frac{1}{2}BC$=$\frac{1}{2}$，∴EF⊥PC．
∵PA=PD=$\sqrt{2}$，AD=2，∴△PAD为等腰直角三角形，∴PO=OD=OC=1，
∴PD=PC=CD=$\sqrt{2}$，∴△PCD是等边三角形．∴DE⊥PC．DE=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
∴∠DEF为二面角B-PC-D的平面角．
作FG∥AB交PA于G，连接DG．∵F是PB的中点，∴G为PA的中点，
∵AB⊥PA，∴FG⊥PA．
∴FG=$\frac{1}{2}AB$=$\frac{1}{2}$，DG=$\sqrt{P{D}^{2}+P{G}^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．∴DF=$\sqrt{D{G}^{2}+F{G}^{2}}$=$\frac{\sqrt{11}}{2}$．
∴cos∠DEF=$\frac{D{E}^{2}+E{F}^{2}-D{F}^{2}}{2DE•EF}$=-$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查了面面垂直的判定与性质，二面角的计算，属于中档题．