Question

17．如图所示，A为圆O外一点，AO与圆交于B，C两点，AB=4，AD为圆O的切线，D为切点，AD=8，∠BDC的角平分线与BC和圆O分别交于E，F两点．
（1）求证：$\frac{BD}{CD}$=$\frac{AD}{AC}$；
（2）求DE•DF的值．

Answer 1

分析 （1）由弦切角定理推导出△ABD∽△ADC，由此能证明$\frac{BD}{CD}$=$\frac{AD}{AC}$；
（2）由切割线定理得AD²=AB•AC，证明△DBE∽△DFC，由此能求出DE•DF的值．

解答 （1）证明：∵AD为圆O的切线，∴∠ADB=∠DCA．…（2分）
又∠A为公共角，∴△ABD∽△ADC，…（4分）∴$\frac{BD}{CD}=\frac{AD}{AC}$．…（5分）
（2）解：∵AD是圆O的切线，AC是过圆心的割线，
∴AD²=AB•AC，∴AC=16，则BC=12．…（6分）
又∵∠BDC是直角，∴BD²+CD²=BC²=144，
再由（Ⅰ），$\frac{BD}{CD}=\frac{AD}{AC}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$，∴$BD=\frac{12}{5}\sqrt{5}$，$CD=\frac{24}{5}\sqrt{5}$．…（7分）
连接BF，CF，∵∠BDF=∠CDF，∠DBE=∠DFC，
∴△DBE∽△DFC，∴$\frac{BD}{DF}=\frac{DE}{CD}$，…（9分）
∴$DE\;•\;DF=BD\;•\;CD=\frac{12}{5}\sqrt{5}×\frac{24}{5}\sqrt{5}=\frac{288}{5}$．…（10分）

点评 本题考查两组线段比值相等的证明，考查两线段乘积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意弦切角定理和切割线定理的合理运用．