Question

17．已知函数f（x）=sin（$\frac{5π}{6}$-2x）-2sin（x-$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{3π}{4}$）．
（1）求函数f（x）的最小值正周期和单调递增区间；
（2）若x₀∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{12}$]，且f（x₀）=$\frac{1}{3}$，求cos2x₀的值．

Answer 1

分析 （1）利用两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；
（2）根据x₀∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{12}$]，且f（x₀）=$\frac{1}{3}$，求出x₀关系式，转化思想求解cos2x₀的值．

解答 解：函数f（x）=sin（$\frac{5π}{6}$-2x）-2sin（x-$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{3π}{4}$）．
化简可得：f（x）=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+（sinx-cosx）（sinx+cosx）
=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+sin²x-cos²x
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）
∴函数f（x）的最小值正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，
得：$kπ-\frac{π}{6}$≤x≤$kπ+\frac{π}{3}$．
∴函数f（x）的单调递增区间为[$kπ-\frac{π}{6}$，$kπ+\frac{π}{3}$]，k∈Z．
（2）x₀∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{12}$]，
∴2x₀$-\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{2}，π$]
∵f（x₀）=$\frac{1}{3}$，即sin（2x₀-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{3}$．
∴cos（2x₀-$\frac{π}{6}$）=$-\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
那么：cos2x₀=cos（2x₀-$\frac{π}{6}$$+\frac{π}{6}$）=cos（2x₀-$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$-sin（2x₀-$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$）=$-\frac{2\sqrt{6}+1}{6}$．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．