Question

18．如图，已知三棱锥P-ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，PA=PB，平面PAB⊥平面ABC，D、E、F分别是AB、PB、PC的中点．
（Ⅰ）证明：PD⊥平面ABC；
（Ⅱ）若M为BC中点，且PM⊥平面EFD，求三棱锥P-ABC的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由PA=PB，D为AB中点，可得PD⊥AB，再由面面垂直的性质可得PD⊥平面ABC；
（Ⅱ）设PM交EF于N，连接DM，DN，由线面垂直的性质得到PM⊥DN，由已知可得DN垂直平分PM，故PD=DM，求出DM，进一步求得PD．即三棱锥P-ABC的高，然后由三棱锥体积公式求得三棱锥P-ABC的体积．

解答 （Ⅰ）证明：∵PA=PB，D为AB中点，∴PD⊥AB，
又平面PAB⊥平面ABC，交线为AB，PD?平面PAB，
∴PD⊥平面ABC；
（Ⅱ）解：设PM交EF于N，连接DM，DN，
∵PM⊥平面EFD，DN?平面DEF，
∴PM⊥DN，
又E，F分别是PB，PC的中点，
∴N为EF的中点，也是PM的中点，
∴DN垂直平分PM，故PD=DM，
又DM为△ABC的中位线，则DM=$\frac{1}{2}AC$=1，∴PD=1．
∵BC⊥AC，则${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}AC•BC=2$．
∴三棱锥P-ABC的体积${V}_{P-ABC}=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•PD=\frac{2}{3}$

点评 本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．