Question

2．已知函数φ（x）=$\frac{a}{x+1}$，a为常数．
（1）若f（x）=lnx+φ（x），且a=$\frac{9}{2}$，求函数f（x）的单调区间；
（2）若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意x₁，x₂∈[1，2]，x₁≠x₂，都有$\frac{g（{x}_{2}）-g（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜-1，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）对f（x）求导，利用f′（x）＞0判断函数单调增，f′（x）＜0函数单调减，求出单调区间；
（2）由题意，构造函数h（x）=g（x）+x，根据h（x）在[1，2]上的单调性，再利用导数讨论h（x）的单调性与最值问题，从而求出a的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=lnx+φ（x）=lnx+$\frac{a}{x+1}$，（x＞0）；
∴f′（x）=$\frac{{x}^{2}+（2-a）x+1}{{x（x+1）}^{2}}$，
当a=$\frac{9}{2}$时，令f′（x）＞0，即x²-$\frac{5}{2}$x+1＞0，
解得x＞2，或x＜$\frac{1}{2}$，
∴函数f（x）的单调增区间为（0，$\frac{1}{2}$），（2，+∞），单调减区间为（$\frac{1}{2}$，2）；
（2）∵$\frac{g（{x}_{2}）-g（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜-1，
∴$\frac{g（{x}_{2}）-g（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$+1＜0，
即 $\frac{g{（x}_{2}）{+x}_{2}-[g{（x}_{1}）{+x}_{1}]}{{x}_{2}{-x}_{1}}$＜0；
设h（x）=g（x）+x，依题意，h（x）在（0，2]上是减函数；
当1≤x≤2时，h（x）=lnx+$\frac{a}{x+1}$+x，h′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{（x+1）}^{2}}$+1；
令h′（x）≤0，解得a≥$\frac{{（x+1）}^{2}}{x}$+（x+1）²=x²+3x+$\frac{1}{x}$+3对x∈[1，2]时恒成立；
设m（x）=x²+3x+$\frac{1}{x}$+3，则m′（x）=2x+3-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
∵1≤x≤2，∴m′（x）=2x+3-$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，
∴m（x）在[1，2]上是增函数，则当x=2时，m（x）的最大值为$\frac{27}{2}$，
∴a≥$\frac{27}{2}$．

点评 本题考查了导数的综合应用问题，也考查了构造函数来研究函数的单调性与最值问题和分类讨论思想，是综合性题目．