题目内容

已知数列{a_n）中，a₁= $数学公式$ ，且a_n+1= $数学公式$ a_n+ $数学公式$ （n∈N^*）
（1）令b_n=2ⁿa_n，求数列{b_n}的通项公式；
（2）令c_n=a_n- $数学公式$ ，求数列{c_n}的前n项和S_n．

解：（1）由a_n+1= $\text{[math]}$ a_n+ $\text{[math]}$ （n∈N^*）得2ⁿ⁺¹a_n+1=2ⁿa_n+2n+3
由b_n=2ⁿa_n，得b1=1，b_n+1=b_n+2n+3
从而b₂-b₁=5
b₃-b₂=7
…
b_n-b_n-1=2（n-1）+5
以上各式相加得b_n=n²+2n-2（n≥2）
当n=1时也适合．∴b_n=n²+2n-2
（2）由（1）得，a_n= $\text{[math]}$ 所以c_n=a_n- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
所以Sn= $\text{[math]}$ ①
上式两边乘以 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ Sn= $\text{[math]}$ ②
①-②得 $\text{[math]}$ Sn= $\text{[math]}$ =2- $\text{[math]}$ ，
所以Sn=4- $\text{[math]}$
分析：（1）由a_n+1= $\text{[math]}$ a_n+ $\text{[math]}$ （n∈N^*）得2ⁿ⁺¹a_n+1=2ⁿa_n+2n+3，b_n+1=b_n+2n+3，再用叠加法去求
（2）c_n=a_n- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 用错位相消法求和
点评：本题考查叠加法求通项，错位相消法求和，考查变形转化能力、计算能力．