Question

15．已知函数f（x）=xe^x，现有下列五种说法：
①函数f（x）为奇函数；
②函数f（x）的减区间为（-∞，1），增区间为（1，+∞）；
③函数f（x）的图象在x=0处的切线的斜率为1；
④函数f（x）的最小值为$-\frac{1}{e}$．
其中说法正确的序号是③④（请写出所有正确说法的序号）．

Answer 1

分析 根据奇函数的定义判断①，求出函数的导数，得到函数的单调区间，判断②③④即可．

解答 解：①f（-x）=（-x）•$\frac{1}{{e}^{x}}$≠-f（x），不是奇函数，故①错误；
②f′（x）=（1+x）e^x，
当x∈（-∞，-1）时，f′（x）＜0，当x∈（-1，+∞）时，f′（x）＞0，
∴f（x）的单调递增区间为（-1，+∞），单调递减区间为（-∞，-1），
故②错误；
③∵f′（x）=（1+x）e^x，∴f′（0）=1，
即函数f（x）的图象在x=0处的切线的斜率为1；
故③正确；
④f（x）的单调递增区间为（-1，+∞），单调递减区间为（-∞，-1），
∴f（x）的最小值是f（-1）=-$\frac{1}{e}$，
故④正确；
故答案为：③④．

点评 本题考查了利用导研究函数的单调性极值与最值问题，考查函数的奇偶性问题，是一道基础题．