Question

14．已知锐角△ABC的三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且2csinA=$\sqrt{3}$a．
（1）求角C的大小；
（2）若a=5，且△ABC的面积为$\frac{15\sqrt{3}}{2}$，求△ABC的AB边上中线CD的长．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理，得到sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，然后求解C即可．
（2）由面积公式求得b=6，由余弦定理求得c²的值，从而求得c的值，由余弦定理求得cosB，CD是△ABC的AB边上中线，在三角形BCD中，利用余弦定理可求得CD的长．

解答 解：锐角△ABC中，由正弦定理：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$，2csinA=$\sqrt{3}$a得：2sinCsinA=$\sqrt{3}$sinA，
∵sinA≠0，
∴sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴C=$\frac{π}{3}$，
（2）由三角形面积公式S=$\frac{1}{2}$absinC，$\frac{15\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$×5×b×$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得b=6，
由余弦定理可知：c²=a²+b²-2abcosC，
∴c²=25+36-2×5×6×$\frac{1}{2}$，c=$\sqrt{31}$，
在三角形ABC中，由余弦定理cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{25+31-36}{2×5×\sqrt{31}}$=$\frac{2}{\sqrt{31}}$，
CD是△ABC的AB边上中线，CB=AC=$\frac{\sqrt{31}}{2}$，
在三角形BCD中，丨CD丨²=丨BC丨²+丨BD丨²-2丨BC丨丨BD丨cosB，
∴丨CD丨²=$\frac{91}{4}$，
∴丨CD丨=$\frac{\sqrt{91}}{2}$，
△ABC的AB边上中线CD的长$\frac{\sqrt{91}}{2}$．

点评 本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力，属于中档题．