Question

1．关于x的不等式x²-（2a+1）x+（a²+a-2）＞0、x²-（a²+a）x+a³＜0的解集分别为M和N
（1）试求M和N
（2）若M∩N=∅，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）解不等式x²-（2a+1）x+（a²+a-2）＞0，得集合M；解不等式x²-（a²+a）x+a³＜0，得集合N；
（2）讨论a的取值，得出M∩N=∅时a的取值范围．

解答 解：（1）不等式x²-（2a+1）x+（a²+a-2）＞0，
变形得：（x-a+1）（x-a-2）＞0，
解得：x＜a-1或x＞a+2，即M=（-∞，a-1）∪（a+2，+∞），
不等式x²-（a²+a）x+a³＜0，
变形得：（x-a²）（x-a）＜0，
当a＞1或a＜0时，解集为：a＜x＜a²，即N=（a，a²）；
当0＜a＜1时，解集为：a²＜x＜a，即N=（a²，a）；
当a=0或a=1时，解集为空集，即N=∅；
（2）当a＜0或＞1时，
∵a＞a-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＜0或a＞1}\\{{a}^{2}≤a+2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a＜0或a＞1}\\{-1≤a≤2}\end{array}\right.$，
即取-1≤a＜0或1＜a≤2；
当0＜a＜1时，
∵a＜a+2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{{a}^{2}≥a-1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{a∈R}\end{array}\right.$，
即取0＜a＜1；
∴当a=0或a=1时，
∵B=∅，
∴A∩B=∅，
即取a=0或a=1；
综上：-1≤a≤2．

点评 本题考查了交集及其运算，以及分类讨论思想的应用问题，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．