Question

13．函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式及最小正周期．
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，$\frac{π}{3}$]的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由函数图象可得A，利用函数过点（0，1），可得1=2sinφ，结合范围|φ|＜$\frac{π}{2}$，即可求φ，又函数过点（$\frac{5π}{18}$，0），由五点作图法可解得ω，利用周期公式可求函数的最小正周期，即可得解．
（Ⅱ）由x∈[0，$\frac{π}{3}$]，可求范围3x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]．，利用正弦函数的图象和性质即可得解所求值域．

解答 解：（Ⅰ）由函数图象可得：A=2，
∵函数过点（0，1），
∴1=2sinφ，
又∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{6}$，
又∵函数过点（$\frac{5π}{18}$，0），可得：0=2sin（$\frac{5π}{18}$ω+$\frac{π}{6}$），
∴由五点作图法可得：$\frac{5π}{18}$ω+$\frac{π}{6}$=π，解得：ω=3，
∴可得函数的最小正周期T=$\frac{2π}{3}$，函数f（x）的表达式为：y=2sin（3x+$\frac{π}{6}$）．
（Ⅱ）∵x∈[0，$\frac{π}{3}$]，
∴3x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]．，
∴sin（3x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，可得：y=2sin（3x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，2]．
∴函数f（x）在区间[0，$\frac{π}{3}$]的值域为：[-1，2]．

点评 本题值域考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，考查了计算能力和数形结合思想，属于基础题．