Question

10．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，BC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，AB=1，BD=PA=2，M 为PD的中点．
（Ⅰ） 求异面直线BD与PC所成角的余弦值；
（Ⅱ）求二面角A-MC-D的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （I）建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式即可得出异面直线所成的角．
（II）利用法向量的性质、线面垂直的性质、向量的夹角公式即可得出．

解答 解：（ I）∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，AD?平面ABCD，
∴PA⊥AB，PA⊥AD．又AD⊥AB，如图，以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
根据条件得AD=$\sqrt{3}$，∴B（1，0，0），D（0，$\sqrt{3}$，0），C$（1，\frac{2\sqrt{3}}{3}，0）$，P（0，0，2），
则$\overrightarrow{BD}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{PC}$=$（1，\frac{2\sqrt{3}}{3}，-2）$．
设异面直线BD，PC所成的角为θ，
则cos θ=|cos＜$\overrightarrow{BD}，\overrightarrow{PC}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{PC}|}{|\overrightarrow{BD}||\overrightarrow{PC}|}$=$\frac{1}{2×\sqrt{\frac{19}{3}}}$=$\frac{\sqrt{57}}{38}$．
即异面直线BD与PC所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{57}}{38}$．
（ II）设平面AMC的一个法向量为n₁=（x₁，y₁，z₁），$M=（0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1）$，$\overrightarrow{AM}=（0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1）$
则n₁⊥$\overrightarrow{AM}$，∴n₁•$\overrightarrow{AM}$=（x₁，y₁，z₁）•$（0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1）$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}{y_1}+{z_1}=0$，
又n₁⊥$\overrightarrow{AC}$，∴n₁•$\overrightarrow{AC}$=（x₁，y₁，z₁）•$（1，\frac{2\sqrt{3}}{3}，0）$=${x_1}+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}{y_1}=0$，
取y₁=$-\sqrt{3}$，得x₁=2，z₁=$\frac{3}{2}$，故n₁=（2，$-\sqrt{3}$，$\frac{3}{2}$），
同理可得平面BMC的一个法向量n₂=（1，$\sqrt{3}$，$\frac{3}{2}$），
∵cos＜n₁，n₂＞=$\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|{\overrightarrow{n_1}}||{\overrightarrow{n_2}}|}}=\frac{{2-3+\frac{9}{4}}}{{\frac{{\sqrt{57}}}{2}•\frac{5}{2}}}=\frac{{\sqrt{57}}}{57}$，
∴二面角A-MC-D的平面角的余弦值为$-\frac{{\sqrt{57}}}{57}$．

点评 本题考查了空间位置关系空间角、法向量的应用、向量垂直与数量积的关系、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．