Question

2．已知等差数列{a_n}的公差d≠0，首项a₁=d，数列{a_n²}的前n项和为S_n，等比数列{b_n}是公比q小于1的正弦有理数列，首项b₁=d²，其前n项和为T_n，若$\frac{{S}_{3}}{{T}_{3}}$是正整数，则q的可能取值为（　　）

• A． $\frac{1}{7}$
• B． $\frac{3}{7}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 运用等差数列和等比数列的通项公式，化简可得$\frac{{S}_{3}}{{T}_{3}}$=$\frac{14}{1+q+{q}^{2}}$是正整数，代入选项，即可得到所求值．

解答 解：等差数列{a_n}的公差d≠0，首项a₁=d，
可得a_n=nd，
数列{a_n²}的前n项和为S_n，
则S_n=d²（1²+2²+…+n²）=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$d²，
$\frac{{S}_{3}}{{T}_{3}}$=$\frac{3×4×7}{6}$d²•$\frac{1}{{d}^{2}（1+q+{q}^{2}）}$
=$\frac{14}{1+q+{q}^{2}}$是正整数，
将选项代入可得q=$\frac{1}{2}$，$\frac{{S}_{3}}{{T}_{3}}$是正整数8．
故选：C．

点评 本题考查等差数列、等比数列的通项公式和求和公式，考查运算能力，属于中档题．