Question

9．a＞0且a≠$\frac{1}{2}$，求g（x）=lnx-ax-$\frac{a-1}{x}$在区间[1，+∞）上的最大值．

Answer 1

分析 求得函数g（x）的导数，分解因式，讨论当a＞$\frac{1}{2}$，当0＜a＜$\frac{1}{2}$，求出单调区间，即可得到所求最大值．

解答 解：g（x）=lnx-ax-$\frac{a-1}{x}$的导数为g′（x）=$\frac{1}{x}$-a+$\frac{a-1}{{x}^{2}}$
=$\frac{x-a{x}^{2}+a-1}{{x}^{2}}$=-$\frac{（x-1）（ax-1+a）}{{x}^{2}}$，
当a＞$\frac{1}{2}$，即1＞$\frac{1-a}{a}$，即有g′（x）≤0在区间[1，+∞）上恒成立，
即g（x）在区间[1，+∞）上递减，可得g（x）的最大值为g（1）=ln1-a-（a-1）=1-2a；
当0＜a＜$\frac{1}{2}$，即1＜$\frac{1-a}{a}$，可得g（x）在[1，$\frac{1-a}{a}$）递增；在（$\frac{1-a}{a}$，+∞）递减，
可得g（x）的最大值为g（$\frac{1-a}{a}$）=ln$\frac{1-a}{a}$-a•$\frac{1-a}{a}$-（a-1）•$\frac{a}{1-a}$=ln$\frac{1-a}{a}$-1+2a．
综上可得，当a＞$\frac{1}{2}$，g（x）的最大值为1-2a；
当0＜a＜$\frac{1}{2}$，g（x）的最大值为ln$\frac{1-a}{a}$-1+2a．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用导数判断单调性，考查分类讨论的思想方法，以及化简整理的运算能力，属于中档题．