Question

14．椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右两焦点分别为F₁，F₂，点P在椭圆上，正三角形△POF₂面积为$\sqrt{3}$，则椭圆的方程为$\frac{x^2}{{2\sqrt{3}+4}}+\frac{y^2}{{2\sqrt{3}}}=1$．

Answer 1

分析 边OF₂的中点为$\frac{c}{2}$，把$x=\frac{c}{2}$代入椭圆方程可得：$\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，解得|y|=$\frac{b\sqrt{4{a}^{2}-{c}^{2}}}{2a}$．可得$\frac{1}{2}×\frac{c}{2}$×$\frac{b\sqrt{4{a}^{2}-{c}^{2}}}{2a}$=$\sqrt{3}$，|y|=$\frac{b\sqrt{4{a}^{2}-{c}^{2}}}{2a}$=$\frac{c}{2}$×$\sqrt{3}$，又a²=b²+c²．联立解得即可得出．

解答 解：边OF₂的中点为$\frac{c}{2}$，把$x=\frac{c}{2}$代入椭圆方程可得：$\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，解得|y|=$\frac{b\sqrt{4{a}^{2}-{c}^{2}}}{2a}$．
∴$\frac{1}{2}×\frac{c}{2}$×$\frac{b\sqrt{4{a}^{2}-{c}^{2}}}{2a}$=$\sqrt{3}$，|y|=$\frac{b\sqrt{4{a}^{2}-{c}^{2}}}{2a}$=$\frac{c}{2}$×$\sqrt{3}$，又a²=b²+c²．
联立解得b²=2$\sqrt{3}$，a²=2$\sqrt{3}$+4，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{x^2}{{2\sqrt{3}+4}}+\frac{y^2}{{2\sqrt{3}}}=1$．
故答案为：$\frac{x^2}{{2\sqrt{3}+4}}+\frac{y^2}{{2\sqrt{3}}}=1$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．