Question

2．已知函数f（x）=lnx-$\frac{ax}{2}$，（a＞0）
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若对任意的a∈[1，2），都存在x₀∈（0，1]使得不等式f（x₀）+e^a-$\frac{a}{2}$＞m成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导，得出极值点x=$\frac{2}{a}$，得出函数的单调区间；
（2）存在x₀∈（0，1]使得不等式f（x₀）+e^a-$\frac{a}{2}$＞m成立，由题意得知区间内f（x）的最大值为f（1）=-$\frac{a}{2}$，故转换为e^a-a＞m成立，构造函数求出左式的最小值即可．

解答 解：（1）f'（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{2}$=$\frac{2-ax}{2x}$，（x＞0），
令f'（x）=0，得x=$\frac{2}{a}$．
当x∈（0，$\frac{2}{a}$]，f'（x）≥0，函数f（x）递增，
当x∈（$\frac{2}{a}$，+∞），f'（x）＜0函数f（x）递减；
（2）$\frac{2}{a}$∈（1，2]，
由（1）知在（0，1]上递增，
当x∈（0，1]时，最大值为f（1）=-$\frac{a}{2}$，
若对任意的a∈[1，2），都存在x₀∈（0，1]使得不等式f（x₀）+e^a-$\frac{a}{2}$＞m成立，
等价于-$\frac{a}{2}$+e^a-$\frac{a}{2}$＞m恒成立，
令g（a）=e^a-a，a∈[1，2），
g'（a）=e^a-1＞0，
∴a∈[1，2）时，最小值为g（1）=e-1，
∴m＜e-1．

点评 考查了利用导函数求函数的单调区间和对存在问题，恒成立问题的综合应用．