Question

设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），右焦点为F（c，0）（c＞0），方程ax²+bx-c=0的两实根分别为x₁，x₂，则P（x₁，x₂）（　　）

• A、必在圆x²+y²=2内
• B、必在圆x²+y²=2外
• C、必在圆x²+y²=1外
• D、必在圆x²+y²=1与圆x²+y²=2形成的圆环之间

Answer 1

考点：椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：首先根据一元二次方程根和系数的关系求出x12+x22=(x1+x2)2-2x1•x2，进一步利用恒等变换求出x12+x22＞1和x12+x22＜2，利用一元二次方程根和系数的关系，基本不等式的应用，离心率的应用从而判断结果．

解答：解：椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），右焦点为F（c，0）（c＞0），方程ax²+bx-c=0的两实根分别为：x₁和x₂
则：x1+x2=-

b

a

，x1•x2=-

c

a

x12+x22=(x1+x2)2-2x1•x2=

b2

a2

+

2ac

a2

＞

a2+c2

a2

=1+e2
所以：0＜e＜1
即：0＜e²＜1
1＜e²+1＜2
x12+x22＞1

b2

a2

+

2ac

a2

＜

b2+a2+c2

a2

=2
所以：x12+x22＜2
即点P在圆x²+y²=1与x²+y²=2形成的圆环之间．
故选：D

点评：本题考查的知识要点：一元二次方程根和系数的关系，基本不等式的应用，离心率的应用．