Question

13．已知f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期为π，f（0）=$\frac{1}{2}$，则g（x）=2cos（ωx+φ）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值为（　　）

• A． 4
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． 1

Answer 1

分析 利用弦函数的图象特征，余弦函数的周期性求得ω，再根据f（0）=$\frac{1}{2}$，求得φ，可得g（x）的解析式，再利用余弦函数的定义域和值域，求得g（x）=2cos（ωx+φ）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值．

解答 解：∵f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期为$\frac{2π}{ω}$=π，
∴ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ）．
∵f（0）=sinφ=$\frac{1}{2}$，∴φ=$\frac{π}{6}$，∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
则g（x）=2cos（ωx+φ）=2cos（2x+$\frac{π}{6}$ ）．
在区间[0，$\frac{π}{2}$]上，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，故当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$时，g（x）取得最大值为$\sqrt{3}$．
故选：C．

点评 本题主要余弦函数的图象特征，余弦函数的周期性、定义域和值域，属于基础题．