Question

18．已知函数f（x）=ax³+x²-ax，其中a∈R且a≠0．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）求函数g（x）=$\frac{f（x）}{x}-\frac{3}{a}$lnx的单调区间；
（Ⅲ）若存在a∈（-∞，-1]，使函数h（x）=f（x）+f′（x），x∈[-1，b]（b＞-1）在x=-1处取得最小值，试求b的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（Ⅲ）当-1＜x≤b时，不等式可化为ax²+（2a+1）x+（1-3a）≥0，令F（x）=ax²+（2a+1）x+（1-3a），通过讨论函数的单调性求出关于b的不等式，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x³+x²-x，
∴f′（x）=（x+1）（3x-1），
令f′（x）=0，得x=-1或x=$\frac{1}{3}$，
列表讨论f′（x）和f（x）的变化情况：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，$\frac{1}{3}$）	$\frac{1}{3}$	（$\frac{1}{3}$，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	极大值	递减	极小值	递增

∴当x=-1时，f（x）取得极大值f（-1）=1，
当x=$\frac{1}{3}$时，f（x）取得极小值f（$\frac{1}{3}$）=-$\frac{5}{27}$；
（Ⅱ）∵g（x）=ax²+x-a-$\frac{3}{a}$lnx，
∴g（x）的定义域为（0，+∞），
g′（x）=$\frac{{{2a}^{2}x}^{2}+ax-3}{ax}$=$\frac{{2a}^{2}（x-\frac{1}{a}）（x+\frac{3}{2a}）}{ax}$，（a≠0）；
（1）当a＞0时，
由g′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{a}$，由g′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{a}$，
∴g（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上单调递减，在（$\frac{1}{a}$，+∞）上单调递增；
（2）当a＜0时，
由g′（x）＞0，解得0＜x＜-$\frac{3}{2a}$，由g′（x）＜0，解得：x＞-$\frac{3}{2a}$，
∴g（x）在（0，-$\frac{3}{2a}$）上单调递增，在（-$\frac{3}{2a}$，+∞）上单调递减．
（Ⅲ）∵f′（x）=3ax²+2x-a，
∴h（x）=ax³+（3a+1）x²+（2-a）x-a，
由题意知，h（x）≥h（-1）在区间[-1，b]上恒成立，
即（x+1）[ax²+（2a+1）x+（1-3a）]≥0，
当x=-1时，不等式成立；
当-1＜x≤b时，不等式可化为ax²+（2a+1）x+（1-3a）≥0，
令F（x）=ax²+（2a+1）x+（1-3a），
∵a≤-1，F（-1）=-4a＞0，
∴F（b）=ab²+（2a+1）b+（1-3a）≥0，
即$\frac{{b}^{2}+2b-3}{b+1}$≤-$\frac{1}{a}$，
由题意，只需$\frac{{b}^{2}+2b-3}{b+1}$≤${（-\frac{1}{a}）}_{max}$=1，
解得：$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$≤b≤$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$，
又b＞-1，∴-1＜b≤$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$，
∴b_max=$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想、分类讨论思想，是一道综合题．