Question

9．已知定义域为R的函数$f（x）=\frac{{b-{2^x}}}{{{2^{x+1}}+a}}$是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）试判断函数f（x）的单调性，并用函数单调性的定义说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的定义和性质建立方程进行求解即可求a，b的值；
（2）根据函数单调性的定义进行证明即可．

解答 解：（1）∵f（x）是定义域为R的奇函数，
∴f（0）=0，
即f（0）=$\frac{b-1}{2+a}$=0，则b=1，
此时f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{{2}^{x+1}+a}$，
且f（-x）=-f（x），
则$\frac{1-{2}^{-x}}{{2}^{-x+1}+a}$=-$\frac{1-{2}^{x}}{{2}^{x+1}+a}$，
即$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}•{2}^{-x+1}+a•{2}^{x}}$=$\frac{{2}^{x}-1}{2+a•{2}^{x}}$=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x+1}+a}$，
则2+a•2^x=2•2^x+a，
则a=2；
（2）当a=2，b=1时，f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{{2}^{x+1}+2}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$）=$\frac{1}{2}$•$\frac{2-（1+{2}^{x}）}{1+{2}^{x}}$=$\frac{1}{1+{2}^{x}}$-$\frac{1}{2}$
f（x）在R上是单调减函数，用定义证明如下；
任取x₁、x₂，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{1+{2}^{{x}_{1}}}$$-\frac{1}{2}$-$\frac{1}{1+{2}^{{x}_{2}}}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{1+{2}^{{x}_{1}}}$-$\frac{1}{1+{2}^{{x}_{2}}}$=$\frac{1+{2}^{{x}_{2}}-1-{2}^{{x}_{1}}}{（1+{2}^{{x}_{1}}）（1+{2}^{{x}_{2}}）}$=$\frac{{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}}{（1+{2}^{{x}_{1}}）（1+{2}^{{x}_{2}}）}$；
∵x₁＜x₂，∴${2}^{{x}_{2}}$-${2}^{{x}_{1}}$＞0，1+${2}^{{x}_{1}}$＞0，1+${2}^{{x}_{2}}$＞0；
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）是R上的单调减函数．

点评 本题考查了函数的奇偶性与单调性的判断与应用问题，利用函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键．