Question

7．以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①双曲线$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$与椭圆$\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{24}=1$有相同的焦点；
②在平面内，设A，B为两个定点，P为动点，且|PA|+|PB|=k，其中常数k为正实数，则动点P的轨迹为椭圆；
③方程2x²-x+1=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④已知P是双曲线$\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{36}=1$上一点，F₁，F₂是双曲线的两个焦点，若|PF₁|=17，则|PF₂|的值为33．
其中真命题的序号为①④．

Answer 1

分析 利用椭圆、双曲线的定义及标准方程中a、b、c的数量关系即可判定．

解答 解：对于①，双曲线$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$的焦点为（±5，0），椭圆$\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{24}=1$有相同的焦点为（±5，0），故①正确；
对于②，在平面内，设A，B为两个定点，P为动点，且|PA|+|PB|=k，其中常数k＞|AB|时，动点P的轨迹才为椭圆，故②错；
对于③，方程2x²-x+1=0的无实，故③错；
对于④，|PF₁-|PF₂|=2a=16，若|PF₁|=17，则|PF₂|的值为33或1，可是|PF₂|≥c-a=2，故④正确
故答案：①④．

点评 本题考查了椭圆、双曲线的定义及标准方程中a、b、c的数量关系，属于基础题．