Question

4．已知复数z₁=（1+bi）（2+i），z₂=3+（1-a）i（a，b∈R，i为虚数单位）．
（Ⅰ）若z₁=z₂，求实数a，b的值；
（Ⅱ）若b=1，a=0，求|${\frac{{{z_1}+\overline{z_2}}}{1-2i}}$|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用复数的乘法，以及z₁=z₂，列出方程组，求实数a，b的值；
（Ⅱ）通过b=1，a=0，真假代入|${\frac{{{z_1}+\overline{z_2}}}{1-2i}}$|，求解即可．

解答 解：（Ⅰ）复数z₁=（1+bi）（2+i）=2-b+（2b+1）i，z₂=3+（1-a）i．
z₁=z₂，可得：$\left\{\begin{array}{l}{2-b=3}\\{2b+1=1-a}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-1}\end{array}\right.$，实数a=2，b=-1；
（Ⅱ）若b=1，a=0，z₁=1+3i，z₂=3+i．
|${\frac{{{z_1}+\overline{z_2}}}{1-2i}}$|=$\frac{|1+3i+3-i|}{|1-2i|}$=$\frac{\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}}{\sqrt{1+{（-2）}^{2}}}$=2．

点评 本题考查复数的相等的充要条件，复数的模的求法，考查计算能力．