Question

2．设数列{a_n}是公比大于1的等比数列，S_n为数列{a_n}的前n项和，已知S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4构成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n+log₂a_n}（n∈N^*）的前10项和T₁₀．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．
（2）利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）由题意可得：$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}+{a_2}+{a_3}=7}\\{{a_1}+3+{a_3}+4=6{a_2}}\end{array}}\right.$，∴14-a₂=6a₂，解得a₂=2，
∴$\frac{2}{q}+2+2q$=14，又q＞1，解得q=2，a₁=1，
∴${a_n}={2^{n-1}}（{n∈{N^*}}）$．
（2）${log_2}{a_n}={log_2}{2^{n-1}}=n-1$，
∴a_n+log₂a_n=2^n-1+n-1．
${T_n}=\frac{{1-{2^n}}}{1-2}+\frac{{n（{0+n-1}）}}{2}={2^n}-1+\frac{{{n^2}-n}}{2}$，
∴${T_{10}}={2^{10}}-1+\frac{{{{10}^2}-10}}{2}=1024-1+45=1068$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．