Question

5．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，C₁C=CB=CA=2，AC⊥CB，D，E分别为棱C₁C，B₁C₁的中点．
（1）求二面角B-A₁D-A的平面角的余弦值；
（2）在线段AC上是否存在一点F，使得EF⊥平面A₁BD？若存在，确定点F的位置并证明结论；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）以C为原点建立坐标系，求出两平面的法向量，则法向量夹角的余弦值的绝对值为所求二面角的余弦值；
（2）假设存在点F满足条件，设F（0，a，0），令$\overrightarrow{EF}$与平面A₁BD的法向量平行即可求出a，得出F的位置．

解答 解：（1）以C为原点，以CB，CA，CC₁为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，
则C（0，0，0），B（2，0，0），A（0，2，0），C₁（0，0，2），B₁（2，0，2），A₁（0，2，2），D（0，0，1），E（1，0，2）．
∴$\overrightarrow{BD}$=（-2，0，1），$\overrightarrow{B{A}_{1}}$=（-2，2，2）．
设平面A₁BD的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{A}_{1}}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-2x+z=0}\\{-2x+2y+2z=0}\end{array}\right.$，令x=1得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，2）．
∵BC⊥平面ACC₁A₁，∴平面ACC₁A₁的一个法向量为$\overrightarrow{CB}$=（2，0，0），
∴cos＜$\overrightarrow{CB}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{CB}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{2•\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
由图可知，二面角B-A₁D-A的平面角为锐角，
∴二面角B-A₁D-A的平面角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
（2）假设在线段AC上存在一点F使得EF⊥平面A₁BD．则$\overrightarrow{EF}$∥$\overrightarrow{n}$．
设F（0，a，0）（0≤a≤2），则$\overrightarrow{EF}$=（-1，a，-2），
∴（-1，a，-2）=k（1，-1，2）．即$\frac{-1}{1}=\frac{a}{-1}=\frac{-2}{2}$，
∴a=1．
∴在线段AC上存在一点F使得EF⊥平面A₁BD，此时点F为AC的中点．

点评 本题考查了空间向量的应用，线面垂直的判定与二面角的计算，属于中档题．