Question

20．已知定义在（-1，1）上的奇函数f （x），其导函数为f′（x）=l+cosx，如果f（1-a）+f（l-a²）＜0，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （0，1）
• B． （1，$\sqrt{2}$）
• C． （-2，-$\sqrt{2}$）
• D． （1，$\sqrt{2}$）∪（-$\sqrt{2}$，-1）

Answer 1

分析 由导数判断f（x）在（-1，1）递增，再由f（-x）=-f（x），不等式f（1-a）+f（l-a²）＜0化为$\left\{\begin{array}{l}{-1＜1-a＜1}\\{-1＜{a}^{2}-1＜1}\\{1-a＜{a}^{2}-1}\end{array}\right.$，求解不等式组得答案．

解答 解：f（x）的导函数为f′（x）=l+cosx，
则f′（x）＞0在（-1，1）恒成立，即有f（x）在（-1，1）递增，
又f（x）为奇函数，即有f（-x）=-f（x），
则f（1-a）+f（l-a²）＜0即为f（1-a）＜-f（l-a²）=f（a²-1），
即$\left\{\begin{array}{l}{-1＜1-a＜1}\\{-1＜{a}^{2}-1＜1}\\{1-a＜{a}^{2}-1}\end{array}\right.$，即有$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜2}\\{-\sqrt{2}＜a＜\sqrt{2}且a≠0}\\{a＞1或a＜-2}\end{array}\right.$，
解得，1＜a＜$\sqrt{2}$．
故选：B．

点评 本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和运用，考查利用导数研究函数的单调性，考查运算能力，属于中档题和易错题．