题目内容

18．若双曲线的焦点到渐近线的距离是焦距的$\frac{\sqrt{5}}{5}$，则该双曲线的离心率为（　　）
A．$\frac{2\sqrt{5}}{5}$B．$\frac{\sqrt{5}}{2}$C．2D．$\sqrt{5}$

分析 利用双曲线的焦点到渐近线的距离是焦距的$\frac{\sqrt{5}}{5}$，列出关系式求解离心率即可．

解答 解：设双曲线方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，可得渐近线方程为：bx-ay=0，焦点坐标（c，0），
双曲线的焦点到渐近线的距离是焦距的$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
可得：$\frac{bc}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}=\frac{\sqrt{5}}{5}×2c$，
整理得：5b2=4c2，即c2=5a2，解得e=$\sqrt{5}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．

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