Question

9．定义在正实数集上的函数f（x）满足：f（3x）=3f（x），且1≤x≤3时f（x）=1-|x-2|，若f（x）=f（2017），
则最小的实数x为413．

Answer 1

分析 求出f（2017）=170，由${3}^{n}（1-|\frac{x}{{3}^{n}}-2|）$=170，可得1-$\frac{170}{{3}^{n}}$＞0，n最小取5，可得|$\frac{x}{{3}^{5}}$-2|=1-$\frac{170}{{3}^{5}}$，即可得出结论．

解答 解：∵定义在正实数集上的函数f（x）满足：f（3x）=3f（x），
∴$f（x）={3}^{n}f（\frac{x}{{3}^{n}}）$，
∴f（2017）=${3}^{6}f（\frac{2017}{{3}^{6}}）$，
∵1＜$\frac{2017}{{3}^{6}}$＜3，
∴f（$\frac{2017}{{3}^{6}}$）=1-|$\frac{2017}{{3}^{6}}$-2|=$\frac{170}{{3}^{6}}$，
∴f（2017）=170，
由${3}^{n}（1-|\frac{x}{{3}^{n}}-2|）$=170，可得1-$\frac{170}{{3}^{n}}$＞0，n最小取5，可得|$\frac{x}{{3}^{5}}$-2|=1-$\frac{170}{{3}^{5}}$
∴x=413，
故答案为413．

点评 本题考查抽象函数，考查函数性质的运用，求出n最小取5，可得|$\frac{x}{{3}^{5}}$-2|=1-$\frac{170}{{3}^{5}}$是关键，难度大．