Question

2．设F₁、F₂分别为双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P，使$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，且△F₁PF₂的三边长构成等差数列，则此双曲线的渐近线方程为y=±2$\sqrt{6}$x．

Answer 1

分析 由已知可得，PF₁＞PF₂，PF₁⊥PF₂，由△F₁PF₂的三边长构成等差数列，可得2PF₁=F₁F₂+PF₂，结合双曲线的定义，PF₁=PF₂+2a，利用勾股定理可得PF${\;}_{1}^{2}$+PF${\;}_{2}^{2}$=F₁F${\;}_{2}^{2}$，代入可求a与c的比值，从而得到$\frac{b}{a}$的值，得到该双曲线的渐近线方程．

解答 解：由P为双曲线的右支上一点可知，PF₁＞PF₂，
∵$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，
∴PF₁⊥PF₂，
∴F₁F₂＞PF₁＞PF₂，
由△F₁PF₂的三边长构成等差数列，可得2PF₁=F₁F₂+PF₂=2c+PF₂①，
又由双曲线的定义可知，PF₁-PF₂=2a即PF₁=PF₂+2a②，
①②联立可得，PF₂=2c-4a，PF₁=2c-2a，
∵$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，
∴PF${\;}_{1}^{2}$+PF${\;}_{2}^{2}$=F₁F${\;}_{2}^{2}$，即（2c-4a）²+（2c-2a）²=4c²，
整理可得，c²-6ac+5a²=0，
∵c＞a，
∴c=5a，可得：a=$\frac{c}{5}$，b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}c}{5}$，
∴$\frac{b}{a}$=2$\sqrt{6}$，得该双曲线的渐近线方程为y=±2$\sqrt{6}$x．
故答案为：y=±2$\sqrt{6}$x．

点评 本题主要考查了双曲线的定义及性质在求解双曲线方程中的应用，解题的关键是确定等差数列的中间项，属于中档题．