题目内容

15．已知点P是直线l：y=x+2与椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y2=1（a＞1）的一个公共点，F1，F2分别为该椭圆的左右焦点，设|PF1|+|PF2|取得最小值时椭圆为C．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程及离心率；
（Ⅱ）已知A，B为椭圆C上关于y轴对称的两点，Q是椭圆C上异于A，B的任意一点，直线QA，QB分别与y轴交于点M（0，m），N（0，n），试判断mn是否为定值；如果为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由．

分析 （Ⅰ）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（a2+1）x2+4a2x+3a2=0，由此利用韦达定理、椭圆定义，结合已知条件能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（-x1，y1），Q（x0，y0），且M（0，m），N（0，n），由已知求出m=$\frac{{x}_{0}{y}_{1}-{x}_{1}{y}_{0}}{{x}_{0}-{x}_{1}}$，n=$\frac{{x}_{0}{y}_{1}+{x}_{1}{y}_{0}}{{x}_{0}+{x}_{1}}$，由此能求出mn为定值1．

解答 解：（Ⅰ）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（a2+1）x2+4a2x+3a2=0，
∵直线y=x+2与椭圆有公共点，
∴△=16a4-4（a2+1）×3a2≥0，解得a2≥3，∴a$≥\sqrt{3}$，
又由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a，
故当a=$\sqrt{3}$时，|PF1|+|PF2|取得最小值，
此时椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（-x1，y1），Q（x0，y0），且M（0，m），N（0，n），
∵kQA=kQM，∴$\frac{{y}_{0}-{y}_{1}}{{x}_{0}-{x}_{1}}$=$\frac{{y}_{0}-m}{{x}_{0}}$，
即${y}_{0}-m=\frac{{x}_{0}（{y}_{0}-{y}_{1}）}{{x}_{0}-{x}_{1}}$，
∴m=${y}_{0}-\frac{{x}_{0}（{y}_{0}-{y}_{1}）}{{x}_{0}-{x}_{1}}$=$\frac{{x}_{0}{y}_{1}-{x}_{1}{y}_{0}}{{x}_{0}-{x}_{1}}$，
同理，得n=$\frac{{x}_{0}{y}_{1}+{x}_{1}{y}_{0}}{{x}_{0}+{x}_{1}}$，
∴mn=$\frac{{x}_{0}y-{x}_{1}{y}_{0}}{{x}_{0}-{x}_{1}}$•$\frac{{x}_{0}{y}_{1}+{x}_{1}{y}_{0}}{{x}_{0}+{x}_{1}}$=$\frac{{{x}_{0}}^{2}{{y}_{1}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$，
又$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{3}$+${{y}_{0}}^{2}$=1，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{3}+{{y}_{1}}^{2}=1$，
∴${{y}_{0}}^{2}=1-\frac{{{x}_{0}}^{2}}{3}$，${{y}_{1}}^{2}=1-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{3}$，
∴mn=$\frac{{{x}_{0}}^{2}（1-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{3}）-{{x}_{1}}^{2}（1-\frac{{{x}_{0}}^{2}}{3}）}{{{x}_{0}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$=$\frac{{{x}_{0}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$=1，
∴mn为定值1．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查两实数值的乘积是否为定值的判断与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、椭圆方程的性质的合理运用．

练习册系列答案
相关题目
5．设变量x，y满足约束条件$\left\{{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{x+y-1≥0}\\{3x-y-3≤0}\end{array}}$，则z=（$\frac{1}{2}$）2x-y的最小值为$\frac{1}{4}$．
6．某工厂要安排生产Ⅰ，Ⅱ两种产品，这些产品要在A，B，C，D四种不同的设备上加工，按工艺规定，在一天内，每件产品在各设备上需要加工的时间，及各设备限制最长使用时间如下表：
设备产品Ⅰ每件需要加工时间产品Ⅱ每件需要加工时间设备最长使用时间
A2小时2小时12小时
B1小时2小时8小时
C4小时0小时16小时
D0小时4小时12小时
设计划每天生产产品Ⅰ的数量为x（件），产品Ⅱ的数量为y（件），
（Ⅰ）用x，y列出满足设备限制使用要求的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（Ⅱ）已知产品Ⅰ每件利润2（万元）产品Ⅱ每件利润3（万元），在满足设备限制使用要求的情况下，问该工厂在每天内产品Ⅰ，产品Ⅱ各生产多少会使利润最大，并求出最大利润．
3．若f（x）=log3a[（a2-3a）x]在（-∞，0）上是减函数，则实数a的取值范围是（$\frac{1}{3}$，3）．
10．已知数列{an}，Sn是其前n项的和且满足3an=2Sn+n（n∈N*），则Sn=$\frac{{3}^{n+1}-3-2n}{4}$．
20．如图，已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点（1，$\frac{3}{2}$），且离心率e=$\frac{1}{2}$，过椭圆右焦点F作互相垂直的两直线与其右准线交于点M、N，A为椭圆的左顶点，连接AM、AN交椭圆于P，Q两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求MN的最小值；
（3）问：直线PQ是否过定点？若过定点，请求出此定点．
7．在平行四边形ABCD中，$\overrightarrow{AB}$=（1，2），$\overrightarrow{AC}$=（-4，2），则该平行四边形的面积为10．
4．设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8}，则集合A∩B中的元素共有（　　）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，斜率为1的直线l经过M（2，0）且此双曲线与l交于A、B两点，若|AB|=4$\sqrt{3}$，求双曲线的方程．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网