Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点(1 ， 

3

2

)在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作方向向量

d

=(2 ， 1)的直线l交椭圆C于A、B两点，求证：|PA|²+|PB|²为定值．

Answer 1

分析：（1）由于C的焦点在x轴上且长轴为4，可设椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），把点(1 ， 

3

2

)代入椭圆的方程可得

1

4

+

3

4b2

=1，解出即可．
（2）设P（m，0）（-2≤m≤2），由于直线l方向向量

d

=(2 ， 1)，可得直线l的方程是y=

x-m

2

．与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，再利用两点间的距离公式即可证明．

解答：（1）解：∵C的焦点在x轴上且长轴为4，
故可设椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∵点(1 ， 

3

2

)在椭圆C上，∴

1

4

+

3

4b2

=1，
解得b²=1，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1．
（2）证明：设P（m，0）（-2≤m≤2），
∵直线l方向向量

d

=(2 ， 1)，
∴直线l的方程是y=

x-m

2

，
联立

y= 1 2 (x-m)   x2 4 +y2=1

⇒2x²-2mx+m²-4=0（*）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁、x₂是方程（*）的两个根，
∴x₂+x₂=m，x1x2=

m2-4

2

，
∴|PA|2+|PB|2=(x1-m)2+

y

2 1

+(x2-m)2+

y

2 2

=(x1-m)2+

1

4

(x1-m)2+(x2-m)2+

1

4

(x2-m)2=

5

4

[(x1-m)2+(x2-m)2]=

5

4

[

x

2 1

+

x

2 2

-2m(x1+x2)+2m2]=

5

4

[(x1+x2)2-2m(x1+x2)-2x1x2+2m2]
=

5

4

[m2-2m2-(m2-4)+2m2]=5（定值）．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、两点间的距离公式，考查了推理能力和计算能力，属于难题．