Question

7．已知△ABC中，AB=2，AC=3，tan∠BAC=2$\sqrt{2}$，D是BC边上的点，且BD=3CD，则$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}$=$\frac{19}{4}$．

Answer 1

分析 运用同角的基本关系式，求得cos∠BAC=$\frac{1}{3}$，由条件，结合向量的三角形法则化$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}$=-$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$²+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AC}$²-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$，再由向量数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值．

解答 解：△ABC中，AB=2，AC=3，tan∠BAC=2$\sqrt{2}$，
由sin²∠BAC+cos²∠BAC=1，
tan∠BAC=$\frac{sin∠BAC}{cos∠BAC}$，
解得cos∠BAC=$\frac{1}{3}$，
D是BC边上的点，且BD=3CD，
可得$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}$=（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BD}$）•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）
=（$\overrightarrow{AB}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{BC}$）•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=（$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AC}$）•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）
=-$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$²+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AC}$²-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=-$\frac{1}{4}$×4+$\frac{3}{4}$×9-$\frac{1}{2}$×2×3×$\frac{1}{3}$=$\frac{19}{4}$．
故答案为：$\frac{19}{4}$．

点评 本题考查向量在三角形中的应用，考查向量的加减运算和数量积的定义及性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查同角的基本关系式的运用，以及运算能力，属于中档题．