Question

18．已知各项都不相等的等差数列{a_n}，其前n项和为S_n满足S₆=60，${a}_{6}^{2}$=a₁•a₂₁，则数列{$\frac{{S}_{n}}{{2}^{n-1}}$}最大值为6．

Answer 1

分析 由题意知a₁=10-2.5d，再结合a₆²=a₁•a₂₁可得等差数列{a_n}的首项为5，公差为2，从而化简$\frac{{S}_{n}}{{2}^{n-1}}$=2•$\frac{n（n+4）}{{2}^{n}}$，可得2•$\frac{n（n+4）}{{2}^{n}}$≥2•$\frac{（n-1）（n+3）}{{2}^{n-1}}$，2•$\frac{n（n+4）}{{2}^{n}}$≥2•$\frac{（n+1）（n+5）}{{2}^{n+1}}$，从而解得数列{$\frac{{S}_{n}}{{2}^{n-1}}$}最大值．

解答 解：设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，
∵S₆=60，
∴6a₁+15d=60，
∴a₁=10-2.5d，
∵a₆²=a₁•a₂₁，
∴（10-2.5d+5d）²=（10-2.5d）•（10-2.5d+20d），
即d=0（舍去）或d=2，
故等差数列{a_n}的首项为5，公差为2，
故S_n=5n+$\frac{n（n-1）}{2}$•2=n（n+4），
可得$\frac{{S}_{n}}{{2}^{n-1}}$=2•$\frac{n（n+4）}{{2}^{n}}$，
由$\frac{{S}_{n}}{{2}^{n-1}}$≥$\frac{{S}_{n-1}}{{2}^{n-2}}$，$\frac{{S}_{n}}{{2}^{n-1}}$≥$\frac{{S}_{n+1}}{{2}^{n}}$
可得2•$\frac{n（n+4）}{{2}^{n}}$≥2•$\frac{（n-1）（n+3）}{{2}^{n-1}}$，2•$\frac{n（n+4）}{{2}^{n}}$≥2•$\frac{（n+1）（n+5）}{{2}^{n+1}}$，
解得，$\sqrt{6}$-1≤n≤$\sqrt{6}$，
故n=2，
故数列{$\frac{{S}_{n}}{{2}^{n-1}}$}项中的最大值为6，
故答案为：6．

点评 本题考查了等差数列的性质的判断与应用，同时考查了最大值的求法与应用．