Question

4．已知f（x+1）=f（x-1），f（x）=f（2-x），方程f（x）=0在[0，1]内只有一个根x=$\frac{1}{2}$，则f（x）=0在区间[0，2016]内根的个数2016．

Answer 1

分析 由f（x）=f（2-x）和对称性可得：f（x）的图象关于直线x=1对称，由f（x+1）=f（x-1）和周期性的定义求出函数的周期，由对称性和条件求出f（x）在一个周期[0，2]上的零点个数，由周期性即可求出答案．

解答 解：∵f（x）=f（2-x），
∴f（x）的图象关于直线x=1对称，即f（1-x）=f（1+x）．
∵f（x+1）=f（x-1），∴f（x+2）=f（x），
即函数f（x）是周期为2的周期函数，
∵方程f（x）=0在[0，1]内只有一个根x=$\frac{1}{2}$，
∴由对称性得，f（$\frac{3}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$）=0，
∴函数f（x）在一个周期[0，2]上有2个零点，
即函数f（x）在每两个整数之间都有一个零点，
∴f（x）=0在区间[0，2016]内根的个数为2016，
故答案为：2016．

点评 本题考查方程的根的存在性及个数判断，函数的对称性与周期性的应用，以及抽象函数的应用，体现了化归与转化的数学思想，属于中档题．