Question

11．已知点M（-1，-2）是抛物线y²=2px（p＞0）的准线上一点，A，B在抛物线上，点F为抛物线的焦点，且有|AF|+|BF|=8，则线段AB的垂直平分线必过点（　　）

• A． （3，0）
• B． （5，0）
• C． （3，2）
• D． （5，4）

Answer 1

分析 确定抛物线的方程，由|AF|+|BF|=8，利用抛物线的定义转化为x₁+x₂+2=8，从而求出A，B两点横坐标的和，设出C的坐标，利用C在AB的垂直平分线上得|AC|=|BC|，代入两点间的距离公式后移向整理，代入两横坐标的和后可求m的值．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂），
∵点M（-1，-2）是抛物线y²=2px（p＞0）的准线上一点，
∴抛物线方程为y²=4x，其准线x=1．
∵|AF|+|BF|=8，
∴由定义得x₁+x₂+2=8，则x₁+x₂=6．
设直线AB的垂直平分线l与x轴的交点C（m，0）．
由C在AB的垂直平分线上，从而|AC|=|BC|，
即（x₁-m）²+y₁²=（x₂-m）²+y₂²，
即（x₁+x₂-2m）（x₁-x₂）=4x₂-4x₁=-4（x₁-x₂），
∵x₁≠x₂，∴x₁+x₂-2m=-4．
又∵x₁+x₂=6，∴m=5，
∴点C的坐标为（5，0）．
即直线AB的垂直平分线l与x轴的交点为定点（5，0）．
故选：B．

点评 本题主要考查抛物线的定义和方程，解决此类问题的必须熟悉曲线的定义和曲线的图形特征，这也是高考常考的知识点，属中档题．